Question

已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a≠0），an+2＝p?an+12an（其中p为非零常数，n∈N*）．（1）判断数列{an+

已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a≠0），an+2＝p?an+12an（其中p为非零常数，n∈N*）．（1）判断数列{an+1an}是不是等比数列？（2）求an；（3）当a=1时，令bn＝nan+2an，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn．

Answer 1

（1）由a_n+2=p?

an+12

an

得

an+2

an+1

=p?

an+1

an

 …（1分）
令c_n=

an+1

an

，则c₁=a，c_n+1=pc_n．
∵a≠0，
∴c₁≠0，故

cn+1

cn

=p（非零常数），
∴数列{

an+1

an

}是等比数列，…（3分）
（2）∵数列{c_n}是首项为a，公比为p的等比数列，
∴c_n=c₁?p^n-1=a?p^n-1，
即

an+1

an

=ap^n-1．          …（4分）
当n≥2时，a_n=

an

an?1

?

an?1

an?2

…

a2

a1

?a₁=（ap^n-2）×（ap^n-3）×…×（ap⁰）×1=a^n-1p

n2?3n+2

2

，…（6分）
∵a₁满足上式，
∴a_n=a^n-1p

n2?3n+2

2

，n∈N^*．        …（7分）
（3）∵

an+2

an

=

an+2

an+1

?

an+1

an

=（apⁿ）×（a?p^n-1）=a²p^2n-1，
∴当a=1时，b_n=

nan+2

an

=np^2n-1．    …（8分）
∴S_n=1×p¹+2×p³+…+n×p^2n-1，①
p²S_n=1×p³+…+（n-1）p^2n-1+n×p²ⁿ⁺¹②
∴当p²≠1，即p≠±1时，①-②得：（1-p²）S_n=p¹+p³+…+p^2n-1-np²ⁿ⁺¹，
∴S_n=

p(1?p2n)

(1?p2)2

-

np2n+1

1?p2

，p≠±1．　            …（11分）
而当p=1时，S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，…（12分）
当p=-1时，S_n=（-1）+（-2）+…+（-n）=-

n(n+1)

2

．…（13分）
综上所述，S_n=

n(n+1) 2 ，p＝1 ? n(n+1) 2 ，p＝?1 p(1?p2n) (1?p2)2 ? np2n+1 1?p2 ，p≠±1

…（14分）