Question

已知圆O：x 2 +y 2 =4，点P为直线l：x=4上的动点，(1)若从P到圆O的切线长为2 ，求P的坐标以及两条切线所

已知圆O：x 2 +y 2 =4，点P为直线l：x=4上的动点，(1)若从P到圆O的切线长为2 ，求P的坐标以及两条切线所夹劣弧长；(2)若点A(-2，0)，B(2，0)，直线PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN经过定点(1，0)。

Answer 1

解：根据题意，设P(4，t)， (1)设两切点为C、D，则OC⊥PC，OD⊥PD， 由题意可知， ， 即 ，解得t=0， 所以点P的坐标为(4，0)， 在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°， 所以两切线所夹劣弧长为 ； (2)设M(x 1 ，y 1 )、N(x 2 ，y 2 )，Q(1，0)， 依题意，直线PA经过点A(-2，0)，P(4，t)， 可以设直线AP的方程为 和圆联立 ，得到 ， 代入消元得到， ， 因为直线AP经过点A(-2，0)、M(x 1 ，y 1 )，所以-2、x 1 是方程的两个根， 所以有 ， 代入直线方程 ，得 ， 同理，设直线BP的方程为 ，联立方程有 ， 代入消元得到 ， 因为直线BP经过点B(2，0)、N(x 2 ，y 2 )，所以2、x 2 是方程的两个根， 所以有 ， 代入 得到 ， 若 ，则 ，此时， ， 显然M、Q、N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q(1，0)； 若x 1 ≠1，则t 2 ≠12，x 2 ≠1，所以有 ， 所以 ，所以M、N、Q三点共线， 即直线MN经过定点Q(1，0)； 综上所述，直线MN经过定点Q(1，0)。