Question

设过曲线f（x）=-ex-x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处

设过曲线f（x）=-ex-x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

解：由f（x）=-ex-x，得f′（x）=-ex-1，
∵ex+1＞1，∴
1
ex+1
∈(0，1)，
由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a-2sinx，
又-2sinx∈[-2，2]，
∴a-2sinx∈[-2+a，2+a]，
要使过曲线f（x）=-ex-x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，
则
−2+a≤0
2+a≥1
，解得-1≤a≤2．
即a的取值范围为-1≤a≤2．
故答案为：-1≤a≤2．