Question

高中数学向量问题

已知向量a，b满足丨a丨=丨b丨=1，且丨ka+b丨=√3丨a-kb丨（k＞0），令f（k）=a·b，
（1） 求f（k）=a·b（用k表示）
（2） 当k＞0时，f（k）≥x²-2t-1/2对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x取值范围。
修正：f（k）≥x²-2tx-1/2

Answer 1

已知向量a，b满足丨a丨=丨b丨=1，且丨ka+b丨=√3丨a-kb丨（k＞0），令f（k）=a•b，
（1） 求f（k）=a•b（用k表示）
（2） 当k＞0时，f（k）≥x²-2tx-1/2对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x取值范围。
解：(1) 将丨ka+b丨=√3丨a-kb丨的两边平方得：
k²a²+2ka•b+b²=3(a²-2ka•b+k²b²)，∵丨a丨=丨b丨=1，∴a²=b²=1，代入得：
8ka•b=2k²+2，故得f(k)=a•b=(k²+1)/4k=(k/4)+(1/4k)≧2√(1/16)=1/2，当且仅仅当k/4=1/4k，
即k=1时取等号。
（2）为使f（k）≥x²-2t-1/2对任意的t∈[-1，1]恒成立，必须使f(k)的最小值1/2满足不等式：
1/2≥x²-2tx-1/2，即不等式x²-2tx-1≦0对任意的t∈[-1，1]恒成立.
即有(x-t)²-t²-1≦0，故有(x-t)²≦t²+1；由于-1≦t≦1，故t²≦1，所以t²+1≦2；
即有(x-t)²≦2，-√2≦x-t≦√2，t-√2≦x≦t+√2；
当t=-1时有-1-√2≦x≦-1+√2..........①；当t=1时有1-√2≦x≦1+√2..........②；
①∩②={x︱1-√2≦x≦-1+√2}，这就是x的取值范围。

Answer 2

1）由 |ka+b|=√3|a-kb| ，两边平方得 k^2a^2+2ka*b+b^2=3(a^2-2ka*b+k^2b^2) ，
即 k^2+2ka*b+1=3(1-2ka*b+k^2) ，
解得 a*b=(k^2+1)/(4k) ，
因此 f(k)=(k^2+1)/(4k) (k>0) 。
2）因为 f(k)=1/4*(k+1/k)>=1/4*2√(k/k)=1/2 ，
所以，由已知得，x^2-2tx-1/2<=1/2 对任意的 t∈[-1，1] 恒成立 。
则 x^2-2x-1<=0 且 x^2+2x-1<=0 ，
所以，1-√2<=x<=1+√2 且 -1-√2<=x<=-1+√2 ，
取交集得 x 的取值范围是 [1-√2 ，-1+√2] 。

Answer 3

第一问平方就出来了，第二问好像落了一个X

追问

额，是的。f（k）≥x²-2tx-1/2,第二个问怎么做