Question

高中数学，要详细解释，谢谢啦！ 已知z是复数,z+2i、z/(2-i)均为实数(i为虚数单位)且复

高中数学，要详细解释，谢谢啦！
已知z是复数,z+2i、z/(2-i)均为实数(i为虚数单位)且复数(z+ai)^2在复数面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围。

Answer 1

设实数z+2i=b
则z=b-2i
z/(2-i)
=(b-2i)(2+i)/(2-i)(2+i)
=(2b-4i+bi+2)/(4+1)
=[(2b+2)+(b-4)i]/5是实数
所以b-4=0
所以z=4-2i
(z+ai)²
=[4+(a-2)i]²
=16+8(a-2)i-(a-2)²
在第一象限
所以16-(a-2)²>0
-4<a-2<4
-2<a<6
且8(a-2)>0,a>2
综上
2<a<6

Answer 2

Answer 3

解：设z=x+yi，其中x,y∈R
那么z+2i=x+(2+y)i
z/(2-i)=(x+yi)(2+i)/5=[(2x-y)+(x+2y)i]/5
依题意知2+y=0·······①
x+2y=0·······②
由①②解得x=4，y=-2
∴(z+ai)^2=(4+(a-2)i)^2=16-(a-2)^2+8(a-2)i
∵此复数在复平面内对应的点在第一象限
∴16-(a-2)^2>0······③
8(a-2)>0······④
由③④联立解得a∈(2,6)

点评：本题考查复数的实虚部含义以及复平面内点的性质，列出不等式解范围是解决本题的关键，复数的运算在本例题中也得到体现，不失为一道好的综合练习题。