Question

已知函数f（x）=x^3+2bx^2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则f（-1）的取值范围是？

Answer 1

f（x）=x^3+2bx^2+cx+1
f'(x)=3x^2+4bx+c
∵f(x)的两个极值点x1、x2，
即f'(x)=0的根x1,x2
满足x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],
∴f'(-2)≥0 ;f'(-1)≤0 ;f'(1)≤0;f'(2)≥0
即 -8b+c+12 ≥0
-4b+c+3≤0
4b+c+3≤0
8b+c+12≥0
在坐标系aob内，满足上述条件
的点（a,b)构成的可行域为1个
四边形。
目标函数 f(-1)=2b-c
最优解：A(0,-3),f(-1)=3
B(0,-12),f(-1)=8
∴f（-1）的取值范围是[3,8]

Answer 2

f ' (x)=3x^2+4bx+c 令3x^2+4bx+c=0 f(-1)=-1+2b-c+1=2b-c (目标函数)
f'(-2)>0且f'(-1)<0且f'(1)<0且f'(2)>0
12-8b+c>0且3-4b+c<0且3+4b+c<0且12+8b+c>0
用线性规划的办法，画出平面区域，再过原点作直线L:2b-c=0 平移这条直线
得到当L过点(0,-3)或(0,-12)时，f(-1)=2b-c=-6 或-24取得最大或最小值
所以取值范围是(-24,-3)

追问

于是答案是[3,12]

追答

哦，我发现了，
第一，前面的四个不等式必须带有等号，
第二，最后第二行后面一句开始算错了，f(-1)=2b-c=3或12取得最大或最小值
所以取值范围[3,12]
谢谢！