Question

已知函数f(x)=-(1/3)x的3次方+x的平方+3x+a. (1)求f(x)的单调减区间。(2)若a=4,求f(x)在区间[-3,...

已知函数f(x)=-(1/3)x的3次方+x的平方+3x+a. (1)求f(x)的单调减区间。(2)若a=4,求f(x)在区间[-3,4]上的最小值。

Answer 1

(1)已知函数f(x)=-(1/3)x³+x²+3x+a.
∴f‘(x)=-x²＋2x＋3
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,
故f(x)的单调减区间为(-∞，-1),(3,+∞).
(2)a=4时f(x)=-(1/3)x³+x²+3x+4，x∈[-3,4]
x∈[-3,-1]时f(x)↘,x∈[-1,3]时f(x)↗,x∈[3,4]时f(x)↘
∵f(-1)=7/3＜f(4)=32/3,∴f(x)的最小值为f(-1)=7/3.
故f(x)的最小值为f(-1)=7/3.

Answer 2

(1)f'(X)=-X^2+2X+3=-(x-3)(x+1),
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,
故f(x)的单调减区间为(-∞，-1)和(3,+∞).
（2）由(1)得，f(x)在[-3,-1)上单调递减，在(-1,3)上单调递增，在(3,4]上单调递减，
又因为f(-1)=7/3,f(4)=32/3
所以f(x)的最小值为f(-1)=7/3.