Question

不等式选讲，已知f(x)=x|x-a|-2,求1.当a=1时，解不等式f(x)＜|x-2|；2.当x∈（0,1]时，...

f(x)=x|x-a|-2
求(1)当a=1时不等式f(x)<|x-2|
(2)当x属于（0,1]时，f(x)＜1/2 x²-1恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

当a=1时，f(x)=x|x-a|-2 =x|x-1|-2
不等式 f(x)<|x-2|
可写为x|x-1|-2<|x-2|
移项x|x-1|<|x-2|＋2①
令x－1=0,解之得x=1；令x－2=0，解之得x=2；
❶当x≤1时，不等式①为x﹙1－x﹚＜﹙2－x﹚＋2化简为x²－2x＋4＞0，恒成立，解集为x≤1；
❷当1＜x≤2时，不等式①为x﹙x－1﹚＜﹙2－x﹚＋2化简为x²＜4，解之得－2＜x＜2，
解集为1＜x＜2；
❸当x＞2时，不等式①为x﹙x－1﹚＜﹙x－2﹚＋2化简为x²－2x＜0，解之得0＜x＜2，
解集为空集；
综上所述：不等式解集为x＜2
﹙2)当x属于（0,1]时，f(x)＜1/2 x²-1恒成立
即x|x-a|-2＜1/2 x²-1
去分母2x|x-a|-4＜ x²－2
移项2x|x-a|－x²－2＜ 0②
当x≥a时，不等式②为x²－2ax－2＜0，因为不等式x∈﹙0，1﹚恒成立，所以x=0,1时，不等式均成立解之得a＞－½,又因为x≥a且x∈﹙0，1﹚，所以a＞－½；
当x＜a时，不等式②为－3x²＋2ax－2＜0，因为不等式x∈﹙0，1﹚恒成立，所以x=0,1时，不等式均成立解之得a＜5／2又因为x＜a且x∈﹙0，1﹚，所以a＜5／2；
综上所述－½＜a＜5／2