Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°．

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°．
（1）求证：AD=BD；
（2）E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；
（3）当BD=2时，AC的长为 _______（直接填出结果，不要求写过程）

Answer 1

(1)证明：因为ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=角ABC=45度
因为角CAD=角CBD=15度
因为角BAD=角BAC-角CAD=30度
角ABD=角ABC-角CBD=30度
所以角BAD=角ABD
所以AD=BD
(2)因为三角形ACB是等腰直角三角形
所以BC=AC
角ACB=90度
角BAD=角ABD=30度（已证）
在DE上取DF=BD,连接BF,BE
因为角BDF=角BAD+角ABD=60度
所以三角形BDF是等边三角形
所以BD=BF=BF
角DBF=角CBD+角FBC=60度
因为AC=CE
所以角CAE=角AEC=15度
因为角CAE+角AEC+角ACE=180度
所以角ACE=角ACB+角BCE=150度
所以角BCE=60度
因为AC=AE
所以BC=CE
所以三角形BCE是等边三角形
所以BC=BE
角CBE=角CBF+角CBF=60度
所以角CBD=角CBF
因为BD=BF(已证）
BC=BE(已证）
所以三角形CBD和三角形EBF全等（SAS)
所以CD=EF
因为DE=DF+EF
所以AD+CD=DE
(3)AC=根号6

Answer 2

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°=∠BDE，
即DE平分∠BDC．
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC
，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．