Question

数学压轴题，求解析

已知:圆O的半径OA=5,弦AB=8,C是弦AB的中点,点P是射线AO上一点(与点A不重合),直线PC与射线BO交于点D,
1，若点P在AO的延长线上，设OP=X,OD/DB=Y,求Y与X的解析式并写出定义域
2，连接CO,若三角形PCO与三角形PCA相似，求此时的BD

1
，

Answer 1

第一个问题：
过C作CE∥AO交BO于E。
∵CE∥AO、AC＝BC，∴CE＝AO/2＝5/2、BE＝EO＝BO/2＝5/2，
∴DE＝EO－DO＝5/2－DO。

∵CE∥OP，∴△CED∽△POD，∴CE/OP＝DE/DO，∴（5/2）/x＝（5/2－DO）/DO，
∴5/x＝（5－2DO）/DO，∴5DO＝5x－2xDO，∴（5＋2x）DO＝5x，∴DO＝5x/（5＋2x），
∴BD＝BO－DO＝5－5x/（5＋2x）＝（25＋10x－5x）/（5＋2x）＝（25＋5x）/（5＋2x），
∴y＝OD/DB＝［5x/（5＋2x）］/［（25＋5x）/（5＋2x）］＝x/（5＋x）。

∵P在AO的延长线上，∴OP＞0，∴x＞0，∴x∈（0，＋∞）。
于是，满足条件的解析式为 y＝x/（5＋x），定义域为（0，＋∞）。

第二个问题：
∵O是圆心、C是弦AB的中点，∴CO⊥AC，而AC＝AB/2＝8/2＝4，
∴由勾股定理，有：CO＝√（AO^2－AC^2）＝√（25－16）＝3。

∵△PCO∽△PCA，∴AC/CO＝AP/CP＝CP/OP。
由AC/CO＝AP/CP，得：CP＝CO×AP/AC；　由AC/CO＝CP/OP，得：CP＝AC×OP/CO，
∴CO×AP/AC＝AC×OP/CO，∴3（5＋x）/4＝4x/3，∴9（5＋x）＝16x，
∴45＋9x＝16x，∴7x＝45，∴x＝45/7，
∴y＝x/（5＋x）＝（45/7）/（5＋45/7）＝45/（35＋45）＝9/（7＋9）＝9/16，
∴OD/BD＝9/16，∴（5－BD）/BD＝9/16，∴5/BD－1＝9/16，∴5/BD＝1＋9/16＝25/16，
∴1/BD＝5/16，∴BD＝16/5。

Answer 2

没图