Question

在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cosA/cosB=b/a=根号3

设半径为R的园O过A,B,C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=θ，求四边形ABCP的面积S与θ的解析式及其最大值

Answer 1

解：∵ AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°
又 cosA/cosB=b/a=√3，AB=2R
∴ ∠CAB=30°，∠B=60°，a=R，b=√3R （这步勾股定理，如果不能直接看懂的话可以分为几步）
又AC是圆O上的弦
∴∠P=2∠B=120° （弦对应的顶角，什么定理我忘记了）
∴ ∠PAC=∠PAB-∠CAB=θ-30°
在△CPA中，有 ∠P+∠PAC+∠PCA=180°
∴ ∠PCA=180°-∠PAC-∠P=180°-（θ-30°）-120°=90°-θ
∴ ∠PAC>=0，∠PCA>=0即 θ>=30°且θ<=90°
又 AC/sin∠P=CP/sin∠PAC 即 √3R/sin120°=CP/sin（θ-30°） （正弦定理）
∴ CP=2Rsin（θ-30°）
∴ △PAC的面积为S1=CP*AC*sin∠PCA/2=2Rsin（θ-30°）*√3R*sin（90°-θ）/2
=Rsin（θ-30°）*√3R*cosθ （后面直接给答案，如果不懂就问我）
=√3/2R²sin（2θ-30°）-√3/4R²
△ACB的面积为S2=AC*BC/2=√3/2R²
∴四边形ABCP的面积S=S1+S2=√3/2R²sin（2θ-30°）-√3/4R²+√3/2R²
=√3/2R²sin（2θ-30°）+√3/4R² （θ>=30°且θ<=90°）
当且仅当 θ=60°时 S有最大值 且最大值为Smax=3√3/4R²

希望我的回答对你有所帮助，如果不懂可以继续问我。另，回答不易，望采纳。