Question

(x^2-x+2)^10的二项式展开式中，x^3项的系数为多少？

要详细过程
前三楼的答案都不对,答案是9600

Answer 1

请楼主不必太相信书上的答案，特别是 练习册上的答案。
因为不清楚楼主的学历，所以我先介绍基本的二项式展开公式，然后再解你这个题目。
对于 (a+b)^n ，其展开式为 C(n,k) * a^(n-k) * b^k 的求和。其中 k 从 0 到n；而 C(n,k) = n!/[(n-k)!*k!] 即常见的组合公式。
基础知识介绍完毕。下面解题。

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x^2 - x + 2 = (x^2+2) - x

[(x^2+2)-x]^10 =
C(10,0)*(x^2+2)^10*(-x)^0 + C(10,1)*(x^2+2)^9*(-x)^1 + C(10,2)*(x^2+2)^8*(-x)^2 + C(10,3)*(x^2+2)^7*(-x)^3…… + C(10,9)*(x^2+2)^1*(-x)^9 + C(10,10)*(x^2+2)^10*(-x)^10

请观察上面这个展开式。对于含有 (-x)^4 、(-x)^5 …… (-x)^10 的项，其进一步展开后 必然不会含 x^3 项。
(x^2+2)的任何次方展开后始终是 x 的偶次项。与 (-x)的偶次项相乘后 也不会产生 x^3 项。
综上所述，只有 C(10,1)(x^2+2)^9*(-x)^1 以及 C(10,3)*(x^2+2)^7*(-x)^3 能够产生 x^3 项。

对于 (x^2+2)^9 ，其展开式中 x^2 项的是 C(9,8)*(x^2)*(2^8)，
与 C(10,1)*(-x)^1 相乘后，产生整个式子的 x^3 项。其系数为
-C(10,1)*C(9,8)*2^8 = -23040

对于 (x^2+2)^7 ，其展开式中 x^0 项是 C(7,7)*[(x^2)^0]*(2^7)，
它与 C(10,3)*(-x)^3 相乘后 产生这个式子的 x^3 项。其系数为
-C(10,3)*C(7,7)*2^7 = -15360

两个系数相加 -23040 - 15360 = - 38400
这就是最后 x^3项 的系数。

Answer 2

慢慢算,最后是9600,我算了1个多小时,累死了

Answer 3

-C(2,10)*2^8-C(3,10)*2^7=-26880

Answer 4

1. 1个x^2和1个-x A(2,10)*(-1)*2^8=-23040
2.3个-x C(3,10)*(-1)^3*2^7=-15360
总的系数：-23040-15360=-38400

Answer 5

-7.5*2^10=-7680
算的累死了
(x-2)^10 与(x+1)^10各只取X的0-3次幂, 然后算前者x0次幂与后者3次幂的系数乘积,前者1次幂与后者2次幂乘积……前者3次幂与后者0次幂乘积.然后将这四个乘积相加就是