Question

如何证明圆周角和圆心角3种位置的关系

Answer 1

已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC=2∠BAC。

证明：

情况1：,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时：

∵OA、OC是半径

∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△OAC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：,当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO,并延长AO交⊙O于D

∵OA、OB、OC是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3：当圆心O在∠BAC的外部时：

连接AO,并延长AO交⊙O于D

∵OA、OB、OC、是半径

∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∵∠BAC=∠CAD-∠BAD

∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。联系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．对于在推理论证及相关计算中有着广泛的用途。半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这两个推论是判定直角或直角三角形的又一依据，为在圆中确定直角，构造垂直关系，创造了条件，因此它是圆中一个很重要的性质。

Answer 2

已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：,当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO,并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：,当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO,并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC