微分几何学的广义相对论的产生及其对几何学的影响
所描述,其中x4=сt，с是光速,t是时间。这种具体形式是闵科夫斯基空间，或称闵科夫斯基四维时空，简称四维时空，它是洛伦茨流形中的一个特例。 广义相对论采用的是洛伦茨流形,这时ds2是非正定的，它的特点是在任何一点的小邻域中和闵科夫斯基时空性质相近似。引力论的基本问题是要说明质点在引力作用下的运动轨线问题，在广义相对论中运动轨线为流形上类时（即“弧长”平方为负）的测地线，类时意味着质点的速度低于光速，测地线是变分 (7)所得微分方程的解。
爱因斯坦的引力场方程是一个关于gij的二阶偏微分方程 (8)式中Rij 称为里奇张量，是由gij的一、二阶导数构成的，其中所确定；Tij是描述物质分布的能量动量张量。特别，真空中的引力场方程由Rij=0所表述。如果弯曲空间化为平直空间，则表示引力场不存在，这时质点作匀速运动。
爱因斯坦的广义相对论的思想来自物理学的研究，但值得注意的是从欧几里得几何学到黎曼几何学经历了二千多年时间，而从闵科夫斯基时空到洛伦茨流形只经过十年时间，这是因为黎曼几何学的张量分析已为此作了一切数学上的准备。爱因斯坦在建立广义相对论的过程中得益于数学家M.格罗斯曼，在发展广义相对论过程中他和É.嘉当进行了许多的讨论，D.希尔伯特也参加建立场方程的研究。 把黎曼几何应用于广义相对论时,列维-齐维塔平行移动的概念具有相当的重要性。（C.H.）H.外尔在1918年的名著《时间，空间，物质》中引进了仿射联络的概念，它是黎曼流形中列维－齐维塔平行移动的推广。在流形上可以用仿射联络作为出发点来定义平行移动和协变微分等结构,这样,仿射联络就不必从黎曼结构来得出。外尔所给出的联络是无挠率的（即对称的）。流形上定义了仿射联络，就得到仿射联络流形。
É.嘉当在他的主要论文《仿射联络流形及广义相对论理论》（1923～1924）中给出仿射联络的权威性论述，并将仿射联络这一概念推广到有挠率的情况。文中主要说明为什么爱因斯坦引力论是牛顿引力论的推广，后来他更进一步建立了各种联络理论，例如射影联络、共形联络等。
黎曼几何还有另外的推广,P.芬斯勒以一般出发建立了一种度量的几何学，F只是dxj的正齐二次函数而不必要求它为二次型，也就是说gij除依赖于x之外，还是dx的正齐0次函数。对这种空间也引进了联络、曲率等等概念，从而得到芬斯勒几何。随后，还有很多的推广，得到的空间通称为一般空间。
