微分几何学的初始阶段
1827年德国数学家C.F.高斯的论文《弯曲曲面的一般研究》在微分几何学的历史上有重大的意义。微分几何发展经历了150年之后,高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带有根本性的内容，他在论文中建立了曲面的内在几何学，其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上一区域的面积、测地线、测地曲率和总曲率等等，称之为曲面的内在性质。
高斯之前的几何学家，在研究曲面时总是把曲面与外围空间E3相联系，找出曲面上一点的主方向，再计算两曲率线的法曲率的乘积，这是欧拉的研究。高斯证明了由曲面的第一基本形式就确定了曲面的总曲率，这就是高斯方程，所以总曲率通常也称为高斯曲率，这是高斯的著名发现，被称为“极妙定理”。他说：“如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持不变的。”这里,“可展”表示了映射是1-1（一一）且保持距离的。高斯建立的内在几何学有着深远的影响，是在微分几何上的一关键而重大的突破，但当时并未被人们所认识。 更重要的发展属于德国数学家（G.F.）B.黎曼。1854年他在格丁根大学发表了题为《论作为几何学基础的假设》的就职演讲，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧氏空间中的一个几何实体。他发展了空间的概念,首先提出了n维流形（当时称为多重广延量）的概念,其中的点用n个实数(x1,x2,…,xn)作为坐标来描述，他定义了流形上无限邻近两点(xi)与(xi+dxi)(i=1,2,…,n)的距离 ， (2)并以此作为几何学的出发点。后来称(2)为黎曼度量,这里(gij)是正定对称阵。黎曼认识到度量(2)是加到流形上去的一个结构，因此，同一流形可以有众多的黎曼度量。黎曼以前的几何学家只知道外围空间E3的度量赋予曲面S以诱导度量 ， (3)即第一基本形式,而并未认识到曲面S还可以独立于E3而定义，可以独立地赋予度量结构。黎曼意识到这件事是非凡的重要，他把诱导度量与独立的黎曼度量两者分开来,从而开创了以(2)为出发点的黎曼几何。这种几何以种种非欧几何作为其特例。例如，这时可以把 （α 是常数） (4)作为两个无限邻近点的距离，当α>0时,就是球面几何或椭圆几何（又称为正常曲率空间的几何）,α=0时就是欧氏几何，α<0时就是罗巴切夫斯基几何或双曲几何,又称负常曲率空间的几何。
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。在两个不同坐标系x1，x2，…，xn与x1'，x2'，…，xn' 中，给定两个二次微分形式 与 ，求存在坐标变(i=1,2,…,n)将一个微分形式变到另一个的条件，这个问题1869年由E.B.克里斯托费尔与R.（O.S.）李普希茨解决。克里斯托费尔的解包含了以他的名字定名的记号，即第一类克里斯托费尔记号【jk,l】和第二类克里斯托费尔记号】： ， (5)及协变微分(见黎曼几何学)的概念。在此基础上,1887～1896年间G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本的作用。里奇和他的学生T.列维－齐维塔在研究报告《绝对微分法及其应用》(1901)中对里奇计算法作了详细的综述。
