Question

函数f(x)=1/3x^3+ax^2+2bx+c有两个极值点x1,x2,且x1,x2满足-1<x1<x2<2,则直线bx-(a-1)y+3=0的斜率取值范围

最好有过程 谢谢

Answer 1

函数f(x)=(1/3)x³+ax²+2bx+c有两个极值点x₁，x₂,且x₁，x₂满足-1<x₁<x₂<2，则直线
bx-(a-1)y+3=0的斜率取值范围
解：令f′(x)=x²+2ax+2b=0，设其二根为x₁，x₂；则x₁+x₂=-2a；x₁x₂=2b；
∵-1<x₁<x₂<2；即有-1<x₁<2，-1<x₂<2；∴-2<x₁+x₂<4，即有-2<-2a<4，
故得-2<a<1...........(1)；
1<x₁x₂<4，即有1<2b<4，故1/2<b<2..........(2)；
直线bx-(a-1)y+3=0的斜率k=b/(a-1).
由(1)得-3<a-1<0；∴(a-1)/b<-3/2，即k<-3/2.

追问

条件是-1<x1<1<x2<2 不注意了 想补充还补充不了 字数有限 对不起啊

追答

方程f′(x)=x²+2ax+2b=0有两根，一个是x₁，一个是x₂,且x₁<x₂；这一条件不必特别关注，因为它对结论没有影响；我们关注的是x₁+x₂和x₁x₂，究竟哪个是x₁，哪个是x₂，用不着加以认真的区分；事实上，无论谁大谁小，x₁+x₂和x₁x₂总是相同的。

Answer 2

解：
f'(x)=x²+2ax+2b 对称轴x=-2a/2=-a
令f'(x)=0
x²+2ax+2b=0
函数有两个极值点，则方程有两个不相等的实数根。
判别式>0
(2a)²-8b>0
a²-2b>0
a²>2b
由-1<x1<x2<2得
-1<-a<2 f'(-1)>0 f'(2)>0
-1<-a<2 -2<a<1
0≤a²<4 对于任意[0，4)上的a，不等式a²>2b恒成立，则b<0
f'(-1)>0 1-2a+2b>0 a<(2b+1)/2
f'(2)>0 4+4a+2b>0 a>-(b+2)/2
要以上几个不等式同时成立，则(2b+1)/2≤1 -(b+2)/2≥-2 -(b+2)/2≤1 (2b+1)/2≥-2
分别解得b≤1/2 b≤2 b>-4 b≥-2.5，又b<0
综上，得-2.5≤b<0
对于直线bx-(a-1)y+3=0， -(b+2)/2<a<(2b+1)/2 -2.5<b<0
-(b+4)/2<a-1<(2b-1)/2
斜率k=b/(a-1)
2b/(2b-1)<b/(a-1)<-2b/(b+4)
1 +1/(2b-1)<b/(a-1)<-2+ 8/(b+4)
1+1/(0-1)<b/(a-1)≤-2+8/(-2.5+4)
0<b/(a-1)≤10/3
0<k≤10/3
斜率k的取值范围为(0，10/3]。

提示：先判断b的取值范围，再用b表示a的范围，然后代入k=b/(a-1)计算。

追问

条件是-1<x1<1<x2<2 落个1，真不好意思 对不起啊 能再帮看看么 万分感谢！！