Question

已知f(x)是周期为5的连续函数。。它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-

已知f(x)是周期为5的连续函数。。它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x) 右边的这个ο❨Χ❩求导等于零是怎么得出来的

Answer 1

o（x）这个记号表示x的高阶无穷小的含义。
所以x的高阶无穷小，包含两个含义。
1、o（x）是无穷小（这里是x→0时候的无穷小），所以lim（x→0）o（x）=0，同时因为f（x）是连续函数，所以o（x）而是连续函数，所以o（0）=lim（x→0）o（x）=0
2、o（x）和x的比值在x→0的时候，极限是0（这才能说是x的高阶无穷小），即lim（x→0）o（x）/x=0
那么根据求导公式o'（0）=lim（x→0）[o（x）-o（0）]/（x-0）=lim（x→0）[o（x）-0]/x=lim（x→0）o（x）/x=0
所以o（x）在x=0点的导数为0，就是这样推导出来的。