实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证a,b,c,d中至少有一个是负数。 20
2012-05-24
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解答:题目中a,b,c,d中至少有一个是负数的情况较多,而其反面却只有一种情况,故考虑用反证法证明.
证明:假设a,b,c,d全部是非负数,
∵a+b=c+d=1,
∴(a+b)(c+d)=1,
即(ac+bd)+(ad+bc)=1.
又∵ad+bc≥0,ac+bd≤1,
这与已知条件ac+bd>1矛盾,假设错误.
故a,b,c,d中至少有一个是负数
证明:假设a,b,c,d全部是非负数,
∵a+b=c+d=1,
∴(a+b)(c+d)=1,
即(ac+bd)+(ad+bc)=1.
又∵ad+bc≥0,ac+bd≤1,
这与已知条件ac+bd>1矛盾,假设错误.
故a,b,c,d中至少有一个是负数
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证明:
∵a+b=c+d=1,
∴(a+b)(c+d)=1,
即(ac+bd)+(ad+bc)=1.
∵ac+bd>1,
(ac+bd)+(ad+bc)=1
所以,ad+bc<0
这说明a、b、c、d中必然至少有一个数是负数
∵a+b=c+d=1,
∴(a+b)(c+d)=1,
即(ac+bd)+(ad+bc)=1.
∵ac+bd>1,
(ac+bd)+(ad+bc)=1
所以,ad+bc<0
这说明a、b、c、d中必然至少有一个数是负数
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证明:∵a+b=c+d=1
∴(a+b)(c+d)=1
ac+ad+bc+bd=1
ad+bc=1-(ac+bd)
∵ac+bd>1
∴ad+bc<0
∴a,b,c,d中至少有一个是负数
∴(a+b)(c+d)=1
ac+ad+bc+bd=1
ad+bc=1-(ac+bd)
∵ac+bd>1
∴ad+bc<0
∴a,b,c,d中至少有一个是负数
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反证法:
假设a,b,c,d>=0
则ac+bd=(a+b)(c+d)-bc-ad=1-bc-ad=1-(bc+ad)>1
则bc+ad<0,与假设不符,假设不成立
所以a,b,c,d其中至少有一个是负数
假设a,b,c,d>=0
则ac+bd=(a+b)(c+d)-bc-ad=1-bc-ad=1-(bc+ad)>1
则bc+ad<0,与假设不符,假设不成立
所以a,b,c,d其中至少有一个是负数
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a+b=c+d=1
(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd=1
又ac+bd>1则ad+bc<0
ad与bc至少有一为负
则a,b,c,d中至少有一个是负数
(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd=1
又ac+bd>1则ad+bc<0
ad与bc至少有一为负
则a,b,c,d中至少有一个是负数
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