Question

在三角形ABC中，AB=AC,角A=36'线段AB的垂直平分线交AB于点D交AC于点E、连接BE.

1.求证∠CBE=36°

2.AE²=AC.EC

Answer 1

证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°．

（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BC=BE=AE．
在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC．
∴AC/BC=BC/EC
即BC2=AC•EC．
故AE2=AC•EC.

Answer 2

∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠A=36°
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵DE⊥AB且AD=BD
∴AE=BE
∴△AEB是等腰三角形
∴∠A=∠ABE=36°
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°
∴∠A=∠CBE
∵∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°
∴∠C=∠BEC
∴△BCE是等腰三角形
∴BC=BE=AE
在△BCE和△ABC中
∠CBE=∠A ∠ABC=∠ACB
∴△BCE∽△ABC
∴BC/EC=AC/BE
即BC×BE=AC×EC
∴AE²=AC×EC