Question

过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y=（1/4）x^2交于M(x1.y1)、N(x2.y2)两点(x1<0、x2>0).（1）求x1x2的值...

过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y=（1/4）x^2交于M(x1.y1)、N(x2.y2)两点(x1<0、x2>0).（1）求x1x2的值.（2）分别过点M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是点M1、N1,试判断三角形M1FN1的形状,并证明你的结论.（3）对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切?若存在,请求出这条直线m的解析式;不存在请说明理由.

Answer 1

(1).x1x2=-4,(2).m1fn1为直角三角形（3）存在 m解析式为 y=-1

Answer 2

∵直线y=kx+b过点F(0,1)
∴b=1
y=kx+1与y=（1/4）x^2联立方程组
消去y得：kx+1=(1/4)x^2
即： x^2-4kx-4=0 （#）
∴x1, x2是（#）的根
根据韦达定理
x1x2=-4 , x1+x2=4k
∴x1x2=-4
2
根据题意M1(x1,-1) 、N1(x2,-1)
那么向量FM1=(x1,-2),向量FN1=(x2,-2)
∴向量FM1●向量FN1=x1x2+4=-4+4=0
∴向量FM1⊥向量FN1
∴三角形M1FN1直角三角形
3
符合条件的直线m存在，是y=-1
设MN中点为Q（x0,y0)
∴x0=(x1+x2)/2=2k, y0=2k²+1
|MN|=√(k²+1)*√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(k²+1)*√[(16k²+16)
= 4(k²+1)
∵Q（x0,y0)到直线y=-1的距离为
y0-(-1)=2k²+2=1/2|MN|
即以MN为直径的圆的圆心到直线
y=-1的距离等于|MN|的一半
∴对于过点F的任意直线MN，以
MN为直径的圆总与直线y=-1相切

Answer 3

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