Question

设由x=ze^(y+z)确定z=z(x,y),则dz(e,0)=

Answer 1

设由x=ze^(y+z)确定z=z(x,y),则dz=1/(2e)dx+1/2dy。

x=e,y=0,得z=1

dx=e^(y+z)dz+zd(e^(y+z))

=e^(y+z)dz+ze^(y+z)(dy+dz)

e^(y+z)(1+z)dz=dx+ze^(y+z)dy

代入

x=e,y=0,z=1

2edz=dx+edy

dz=1/(2e)dx+1/2dy

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，

在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。

Answer 2

x=e,y=0,得z=1
dx=e^(y+z)dz+zd(e^(y+z))
=e^(y+z)dz+ze^(y+z)(dy+dz)
e^(y+z)(1+z)dz=dx+ze^(y+z)dy
代入
x=e,y=0,z=1
2edz=dx+edy
dz=1/(2e)dx+1/2dy

追问

dx=e^(y+z)dz+zd(e^(y+z))
看不懂这一步

追答

两边同时取微分，当然你也可以求导，但那个很慢。

Answer 3

解：lnx=lnz+y+z
1/xdx=1/zdz+dy+dz
(1+1/z)dz=1/xdx-dy
代入数据x=e y=0可得：z+lnz=1
x=ze^(y+z)这题是不是出错了，连z都求不出来，是不是指数里面的Z要改成X啊

追问

改成x我就不问了

追答

取对数lnx=lnz+y+z
两边微分1/xdx=1/zdz+dy+dz
(1+1/z)dz=1/xdx-dy
代入数据x=e y=0可得：z+lnz=1
z=1
则2dz=1/edx-dy
dz=1/2edx-1/2dy

Answer 4

令F(x,y,z)=x-ze^(x+y)则
F'(x)=1
F'(y)=-ze^(x+y)
F'(z)=-[e^(x+y)+ze^(x+y)]=-(z+1)e^(x+y)
∂x/∂z=-F'(x)/F'(z)=-1/[(z+1)e^(x+y)]
∂y/∂z=-F'(y)/F'(z)=-z/(z+1)
dz=(∂x/∂z)*dx+(∂y/∂z)*dy
由x=ze^(y+z) x=e, y=0知 z=1,
∂x/∂z(e,0,1)=1/(2e), ∂y/∂z(e,0,1)=-1/2
因此dz(e,0)=dx/(2e)-dy/2.