Question

已知函数f(x)=aln(x+1)+1/2x^2-ax+1（a>0）.求函数y=f(x)的极值

Answer 1

f'(x)=a/(x+1)+x-a=x[x-(a-1)]/(x+1)
若0<a<1，即-1<a-1<0。
极大值是f(a-1)=alna+(1/2)(a-1)^2-a^2+a+1=alna-a^2/2+3/2，极小值是f(0)=1。
若a=1，f'(x)=x^2/(x+1)>=0，f(x)是增函数，无极值。
若a>1，即a-1>0。
极大值是f(0)=1，极小值是f(a-1)=alna+(1/2)(a-1)^2-a^2+a+1=alna-a^2/2+3/2。

追问

为什么极大值是f(0)=1

追答

f(x)在(-1,0)上增、在(0,a-1)上减、在(a-1,+无穷)上增。

追问

在(a-1,+无穷)上增，应该无最大值

追答

没人说在(a-1,+无穷)上有最大值。