Question

如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC边中点，求证：△BMD为等腰直角三角形。

Answer 1

把直线AE、BE、AD逆时针旋转90°，则A旋转到C点，B、E对应点分别为B'、E' 。△ABE全等于△CBE' ，BD=BD' 。连接MD' ，下面证明D、M、D'在一条直线上。
因为EB、CD'都垂直于BE' ，所以BE‖CD' ，所以∠DEM=∠D'CM ，又有CD'=E'D'=ED ，EM=CM ，所以△EMD全等于△CMD' ，∠DME=∠D'MC 。因为E、M、C共线，所以D、M、D'在一条直线上，且MD=MD' 。△DBD'为等腰直角三角形，∠BDD'=45°，BM为DD'的中垂线。所以△BMD为等腰直角三角形。

Answer 2

证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵CF∥ED，
∴∠1=∠FCM，
∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠5=∠6，
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
∴△BMD是等腰直角三角形．