Question

已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°点M是CE的中点，连接BM.

（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为?写过程.
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
回答得好可以加分.

Answer 1

（1）证明：如图，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，BA=BC，
∴∠BCA=45°，
∵点M为EC的中点，
∴BM=12EC=MC，DM=12EC=MC，
∴BM=DM，
∴∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，
∴∠BME=2∠BCM，∠EMD=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM
=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCA=2×45°=90°，
∴△BMD为等腰直角三角形．

（2）解：△BMD为等腰直角三角形．理由如下：
延长DM交BC于点N．
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90°，
∴∠EDB=∠DBC，
∴ED∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵点M为EC的中点，
∴EM=CM，
∵在△EDM与△CNM中，∠DEM=∠NCM，EM=CM，∠EMD=∠CMN，
∴△EDM≌△CNM，
∴ED=CN，MD=MN，
∴AD=CN，
∴BA-DA=BC-NC，
即BD=BN，
∴BM=12DN=DM，
∴BM⊥DN，即∠BMD=90°，
∴△BMD为等腰直角三角形．

Answer 2

解：（1）BD=根号2BM
　　证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=根号2 BM．

Answer 3

解：（1）BD= √2BM，
（2）结论成立，
证明：连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵CF∥ED，
∴∠1=∠FCM，
∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠5=∠6，
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=√ 2BM．