Question

复变函数，求解题过程

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Answer 1

基本知识：
1.复数的表示法为z=x+iy,其中x为复数的实部,y为复数的虚部,若两复数相等,则两复数的实部、虚部分别相等.
2.欧拉公式：cost+isint=e^(it)
由z=(1+i)t=t+it 得：x=t,y=t 即直线y=x
由z=acost+ibsint,得x=acost,y=bsint,即cost=x/a,sint=y/b.两式平方相加得：(x/a)^2+(y/b)^2=(cost)^2+(sint)^2,而(cost)^2+(sint)^2=1,所以(x/a)^2+(y/b)^2=1,即椭圆(x/a)^2+(y/b)^2=1
显然,x=t,y=1/t,即t=1/y,所以x=1/y,即双曲线xy=1
由欧拉公式：原式=r(cost+isint)+a=rcost+irsint+a=(rcost+a)+isint,
所以x=rcost+a,y=rsint
即cost=(x-a)/r,sint=y/r,两式平方相加,得((x-a)/r)^2+(y/r)^2=(cost)^2+(sint)^2=1,即以(a,0)圆心、以r为半径的圆(x-a)^2+y^2=r^2