Question

线性代数两个定理证明

证明这两个定理：
1，设A为mXn矩阵，B为nXp矩阵，若AB=O，则秩A+秩B<=n。
2，设A是n阶矩阵（n>=2），则A的伴随阵的秩 a. =n,若秩A=n；b. =1,若秩A=n-1；c. =0,若秩A<n-1。

Answer 1

你分也太少了····我打了好长时间的····
1，AB=O，因此B得列向量是方程Ax=0得解向量
而该线性方程组得基础解系中相互无关的有n-r(A)个
因此，r(B)<=n-r(A)
2，已知AA*=IAIE.（1）若r(A)=n,IAI不等于0，对上式两边同取行列式。IAIIA*I=IIAIEI不等于0
因此IA*I不等于0,r(A)=n
(2) r（A)=n-1 ====> IAI=0 ====> AA*=O ====>A*的列向量是Ax=0的
解向量，同第一问中的证法，有r(A*)<=1。 又r(A)=n-1,因此A中至少
存在一个不为零的n-1阶子式。因此，r(A*)>=1 {由伴随矩阵构成定义
得出} 综合有，r(A*)=1
(3) r(A)<n-1,由秩定义，A中所有的n-1阶子式都为零，即A*的所有元素都是0
即A*是全零矩阵，r(A*)=0

Answer 2

1.

2.