Question

若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1。

（1）求证：f（x）-1为奇函数；（2）f（x）在R上的增函数； （3)若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3.

Answer 1

(1) 令x1=x2=0,得到f(0)=1. 令x1=x,x2=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-1=1,即f(x)-1=-(f(-x)-1),即f（x）-1为奇函
数
(2) 令x1=x, x2=-y，x,y属于R，且x>y,即x-y>0,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1
可知：f(x-y)=f(x)+f(-y)-1>1
由(1)知f（x）-1为奇函数，则f(-y)-1=-(f(y)-1),上式可化为：f(x-y)=f(x)+f(-y)-1=f(x)-(f(y)-1)>1,
即f(x)-f(y)>0. 所以f（x）在R上的增函数。
(3) 因为f（4）=5，令x1=x2=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3；所以f(3m²-m-2)＜3=f(2), 另外，
由(2)可知f（x）在R上的增函数,所以3m²-m-2<2，解得-1<m<4/3

Answer 2

(1) 令x1=x2=0,得到f(0)=1. 令x1=x,x2=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-1=1,即f(x)-1=-(f(-x)-1),即f（x）-1为奇函
数
(2) 令x1=x, x2=-y，x,y属于R，且x>y,即x-y>0,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1
可知：f(x-y)=f(x)+f(-y)-1>1
由(1)知f（x）-1为奇函数，则f(-y)-1=-(f(y)-1),上式可化为：f(x-y)=f(x)+f(-y)-1=f(x)-(f(y)-1)>1,
即f(x)-f(y)>0. 所以f（x）在R上的增函数。
(3) 因为f（4）=5，令x1=x2=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3；所以f(3m²-m-2)＜3=f(2), 另外，
由(2)可知f（x）在R上的增函数,所以3m²-m-2<2，解得-1<m<4/3