Question

关于高阶无穷小的一道数学题，麻烦帮我看下，谢谢

①里面X的次数是2次，②里的括号外的次数是3次 ③里面∫的上面是X的平方下面是0 式子arcsintdt 。按后面一个比前面一个高阶的顺序排列。答案是①②③ 但我不知道具体解法，求解释，谢谢。
还有|sin（1/x）| ≤ 1/|x| 这个怎么理解的。

Answer 1

答案过程如图。

x-->0，所以先把能等价替换的都替换掉。

第三个式子是变上限积分，不能等价替换，留着最后用洛必达法则来做。

因为是比较阶数不是求极限，所以极限的系数不重要，最后就用a、b表示了。

|sin（1/x）| ≤ 1/|x|，先去绝对值吧，因为都是正数，所以两边平方。

左边=【sin(1/x)】^2

右边=1/x^2

是要证明对全体实数都成立么？能想到的就是

函数=【sin(1/x)】^2  -  1/x^2 （就是左边-右边）

然后分单调区间（应该是0为间断点），

然后对这函数求导，看导数正负（应该能求出来大于0时，导数为正，小于0时导数为负）。

然后由这个单调区间和导数可以看出来，在【无穷大】和【无穷小】时此函数取得最大值。

这个最大值，用极限来求，应该都是0.

所以可以证明：左边<=右边。

我觉得一般不会要证这个东西吧，我把左边、右边、以及【左边-右边】的函数图象贴给你看。

看图比较明显。

【sin(1/x)】^2

http://www.flickr.com/photos/25675806@N02/7286415412/in/photostream

1/x^2

http://www.flickr.com/photos/25675806@N02/7286390412/in/photostream

左边-右边<=0

http://www.flickr.com/photos/25675806@N02/7286472088/in/photostream

Answer 2

把所有x的次数算出来，次数低的是次数高低阶无穷小量

Answer 3

把所有x的次数算出来，次数低的是次数高低阶无穷小量