Question

如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB,将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上,两边分别与

两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．
如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）PC和PD相等．
理由：∵OM平分∠AOB，
∴∠POC=∠POD=60°，
∵PC⊥OA，
∴∠CPO=180°-90°-60°=30°，
∵∠CPC′=∠D′PD，
∴∠CPD=60°，
∴∠DPO=30°，
∴∠CPO=∠DPO；
∵PO=PO，
∴根据“ASA”，可以得到△PCO≌△PDO，
∴PC=PD．

（2）PC′和PD′相等．
理由：由（1）得△PCO≌△PDO，
∴PC=PD，∠PCC′=∠PDD′=90°，
∵∠CPD=∠C′PD′，
∴∠CPD-∠C′PD=∠C′PD′-∠C′PD，
即∠CPC′=∠DPD′，
∴根据“ASA”，可以得到△PCC′≌△PDD′．
∴PC′=PD′．望采纳

Answer 2

（1）证明：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，
OM平分∠AOB，
∴∠CPO=∠OPD=30°，∠AOP=∠POB=60°，
∴PD⊥OB于D，
∴PC=PD．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

（2）解：PC=PD．
过P点作PQ⊥OA于Q，PN⊥OB于N．
由（1）得 PQ=PN．
∵∠AOB=120°，
∴∠QPN=360°-90°-90°-120°=60°．
∴∠QPC=∠NPD=60°-∠CPN．
∴△PQC≌△PND．（ASA）
∴PC=PD．

Answer 3

（2）解：PC=PD．
过P点作PQ⊥OA于Q，PN⊥OB于N．
由（1）得 PQ=PN．
∵∠AOB=120°，
∴∠QPN=360°-90°-90°-120°=60°．
∴∠QPC=∠NPD=60°-∠CPN．
∴△PQC≌△PND．（ASA）
∴PC=PD．