Question

这个复合函数怎么求值域

Answer 1

x²-2x+2=(x-1)²+1≥1
√(x²-2x+2)≥1
0<2/√(x²-2x+2)≤2
0≤2- 2/√(x²-2x+2)<2
0≤y<2
函数的值域为[0，2)

追问

那如果是分层求的话 就比如这样求。

为什么二次函数值域为一到正无穷。

追答

可以，实质和我的方法是一致的，只不过每一步你都定义参数表示了而已。你这样更容易理解，当然过程也更复杂。

追问

对 我知道 但是我有一点不明白的就是 为什么那个二次函数取值是 （1 +∞）

追答

看我写的第一步，就知道二次函数值域怎么来的了。

追问

为什么直接大于等于1呢😓

我看了 没看懂

追答

平方项恒非负，前面一项≥0，再加1，就≥1

追问

哦～谢谢

Answer 2

x^2-2x+2 >0
(x-1)^2+1 >0
对于所有实数x 都是解
y= 2 - 2/√(x^2-2x+2)
y' =-2(-1/2). (x^2-2x+2)^(-3/2) . ( 2x-2)
= (2x-2)/(x^2-2x+2)^(3/2)
y'=0
2x-2 =0
x=1
y'|x=1+ >0
y'|x=1- <0
x=1 (min)
y= 2 - 2/√(x^2-2x+2)
miny = y(1) = 2 - 2/√(1-2+2) = 2 - 2 =0
x->+∞ , y->2
x->-∞ , y->2
值域 =[0, 2)