Question

【高中数学（向量），紧急求助!!!!!!!!!!!在线等】

若p是Rt△ABC斜边BC上的一点，且|向量AP|=2，∠BAP=∏/4，则|向量AB+向量AC|的最小值为？ 要详细步骤，有图就好了
辛苦。

Answer 1

最小值为4
（1）|向量AB+向量AC|^2=AB^2+AC^2+2向量AB向量AC=AB^2+AC^2+0=BC^2
所以 |向量AB+向量AC|=BC
(2)设PC=m,PB=n，设角C=α，
用正弦定理可得 m=√2/sinα, n=√2/cosα, 可求得当α=∏/4时，m+n最小且最小值为4
故向量AB+向量AC|的最小值为4

追问

2向量AB向量AC为什么等于0呢？

追答

向量AB垂直于向量AC啊！

追问

n=√2/cosα是怎么求的呢

追答

三角形APC中，PC/SIN45=AP/SINC
所以m=2sin45/sinα=2/sinα,
,同理在三角形apb中有n=√2/sinB=n=√2/cosα
m+n==√2/sinα, +√2/cosα=√2(sinα, +cosα)/(sinαcosα)
下设sinα, +cosα=t,则1<t<=√2 sinαcosα=(t^2-1)/2
所以m+n=（2√2）t/(t^2-1)=（2√2）/(t-1/t) 它在1<t<=√2上为减函数
所以t=√2时取最小值，此时α=∏/4时，m+n最小且最小值为4

Answer 2

令BC的中点为D，延长AD至E，使AD＝DE。
∵BC是Rt△ABC的斜边，∴∠BAC＝90°，又BD＝CD，
∴AD＝（1/2）BC＝（1/2）（BP＋CP），∴2AD＝BP＋CP。

∵AD＝DE、BD＝CD，∴ABED是平行四边形，∴向量AE＝向量AB＋向量AC，
∴｜向量AE｜＝｜向量AB＋向量AC｜，∴2AD＝｜向量AB＋向量AC｜＝BP＋CP。

∵∠BAC＝90°、∠BAP＝45°，∴∠CAP＝45°、∠C＝90°－∠B，∴sinC＝cosB。
在△ABP中，由正弦定理，有：BP/sin∠BAP＝AP/sin∠B，∴BP＝APsin∠BAP/sinB，
显然有：AP＝｜向量AP｜＝2，∴BP＝2sin45°/sinB＝√2/sin∠B。
在△ACP中，由正弦定理，有：CP/sin∠CAP＝AP/sin∠C＝AP/cos∠B，
∴CP＝APsin∠CAP/cos∠B＝2sin45°/cos∠B＝√2/cos∠B。
∴BP＋CP＝√2（1/sin∠B＋1/cos∠B）。

令y＝1/sin∠B＋1/cos∠B，得：ysin∠Bcos∠B＝sin∠B＋cos∠B,
∴4ysin∠Bcos∠B＝4（sin∠B＋cos∠B）。
∵∠B是锐角，∴sin∠B＞0、cos∠B＞0，y＞0，∴2√（sin∠Bcos∠B）≦sin∠B＋cos∠B，
∴4sin∠Bcos∠B≦（sin∠B＋cos∠B）^2，∴4ysin∠Bcos∠B≦y（sin∠B＋cos∠B）^2，
4sin∠B＋cos∠B≦y（sin∠B＋cos∠B）^2，∴4≦y（sin∠B＋cos∠B），
∴y≧4/（sin∠B＋cos∠B）＝4/［√2sin（∠B＋45°）］。

∵0°＜∠B＜90°，∴45°＜∠B＋45°＜135°，∴1/√2＜sin（∠B＋45°）≦1。
∴当sin（∠B＋45°）＝1时，y有最小值＝4/√2。
∴BP＋CP的最小值＝√2×（4/√2）＝4，
∴｜向量AB＋向量AC｜的最小值为4。

追问

怎么这么多

Answer 3

ab+ac的平方是向量bc的平方,
因为这是直角三角形,所以向量ab+ac和原三角形是一个正方形.最小时,p为中点
所以是4

Answer 4

4

追问

AB+AB怎么等于BC

追答

不好意思我们打字时都大量用复制，粘贴忘记改了，是AB+AC

Answer 5

4