Question

如图5，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AD，E,F,分别是底面AB，PD的中点。

（1）求证：PC⊥BD （2）求证：AF∥平面PEC （3）在线段BC上是否存在一点M，使AF⊥平面PDM？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

解（1）：
由图中可知：
因为ABCD为菱形，那么AC⊥BD（对角线垂直），
又因为PA⊥底面ABCD，那么PA⊥BD，因为BD是底面ABCD中的一条线，
所以有PA⊥BD，又AC⊥BD，那么BD⊥平面PAC，由此可知BD⊥PC。

追问

(2)(3)呢？

追答

解（2）:
令作辅助线，FG，其中G为线PC的中点，那么FG为三角形PDC的中线，即有FG∥DC，并且有FG=DC/2,又因为AE=AB/2并且平行DC，那么有四边形AFGE为平行四边行，那么有AF∥EG，又因为AF不属于平面PEC，那么就有AF∥平面PEC。
（3）：
应该没有这M点存在，理由还没想出来
思路是：M点在极限位置，C点时，EG不垂直PC，即AF不垂直PC，也即可证明AF不垂直PDC。
M点在B点时，没想出来。