Question

是否有实数a，使函数f(x)=log2[x+(根号x平方+2)]-a为奇函数

是否存在实数a，使函数f(x)[x+(根号x平方+2)]-a为奇函数，证明你的结论
写出详细步骤

Answer 1

要使得这个函数为奇函数，则必须f(0)=0，代入，得：a=1/2
在证明时，请使用f(－x)＋f(x)=0来证明奇函数比较好。。
f(x)=log(2)[x＋√(x²＋2)]－(1/2)
f(－x)=log(2)[－x＋√(x²＋2)]－(1/2)
f(x)＋f(－x)=log(2){[x＋√(x²＋2)]×[－x＋√(x²＋2)]}－1
=log(2)[(x²＋2)－x²]－1
=log(2)[2]－1
=0
即：f(－x)＋f(x)=0，得：
f(－x)=－f(x)
所以函数f(x)为奇函数。

Answer 2

解：若存在这样的数
而f(x)=log2[x+√(x²+2)]-a的定义域为R，
所以f(0)=log2[0+√(0²+2)]-a=log2(√2)-a=1/2-a=0(说明：奇函数f(0)=0)
所以a=1/2
将a=1/2代入原函数得
f(x)=log2[x+√(x²+2)]-1/2
f(-x)=log2{-x+(√[(-x)²+2]}-1/2
f(x)+f(-x)=log2[x+√(x²+2)]-1/2+log2{-x+(√[(-x)²+2]}-1/2
=log2[x+√(x²+2)]+log2{-x+(√[(-x)²+2]}-1
=log2[x+√(x²+2)][-x+√(x²+2)]-1
=log2{[√(x²+2)]²-x²}-1
=log2(x²+2-x²)-1
=log2(2)-1
=0
所以当a=1/2时，函数f(x)=log2[x+√(x²+2)]-1/2是一个奇函数