Question

如图,在△ABC中∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,交AC于E,BC=BD

求BE垂直平分CD

Answer 1

∵DE是AB的垂直平分线，BC=BD
∴BD=BC=AD=1/2AB
△BCD是等腰三角形
AE=BE
∴△AEB是等腰三角形
∴∠A=∠ABE
∵∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形
∴∠A=30° ∠ABC=60°
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°
∴∠ABE=∠CBE
∴BE⊥CD 且平分CD(等腰三角形顶角的平分线和底边上的高，中线三线合一）

Answer 2

连接BE
△ABC为直角三角形,DE垂直平分AB
所以 AD=BD=AB/2
又 BC=BD
所以 BC=AB/2
则 ∠A=30度,∠ABC=60度
AE=BE(垂直平分线原理)
AD=BD,DE为公共边
△ADE全等于BDE
∠AED=∠BED=60度
则 ∠BEC=60度
∠DBE=∠CBE=30度
BE公共边
△BCE全等于△BDE
则DE=EC
BE垂直平分CD