Question

已知函数f(x)=a^x-xlna，其中a＞0，且a≠1。求f（x）在[-1，1]上的最小值和最大值

Answer 1

解：对函数求导：
f'(x)=a^xlna-lna=lna*(a^x-1)
令f'(x)=0解得x=0
当0<a<1时
x在[-1,0]上f'(x)=lna*(a^x-1)<0 f(x)为减函数
x在[0,1]上f'(x)=lna*(a^x-1)>0 f(x)为增函数
所以x=0为f(x)的极小值点，亦为最小值点，最小值为f(0)=1
f(-1)=1/a+lna f(1)=a-lna
f(-1)>f(1) 最大值为f(-1)=1/a+lna
当a>1时
x在[-1,0]上f'(x)=lna*(a^x-1)<0 f(x)为减函数
x在[0,1]上f'(x)=lna*(a^x-1)>0 f(x)为增函数
所以x=0为f(x)的极小值点，亦为最小值点，最小值为f(0)=1
f(-1)=1/a+lna f(1)=a-lna
f(-1)>f(1) 最大值为f(-1)=1/a+lna
所以 综上
f(x)=a^x-xlna在[-1，1]上的最小值为f(0)=1
最大值为f(-1)=1/a+lna