求下列齐次方程的通解
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dy/dx=(2y²-xy)/(x²-xy+y²)=(2y/x -1)/(x/y -1 +y/x)
令u=y/x
则dy/dx=u+xdu/dx
代入原方程得
u+xdu/dx=(2u-1)/(1/u -1+u)
整理得
(u²-u+1)du/(u^3 -3u²+2) = -dx/x
(u²-u+1)du/[u(u-1)(u-2)] =-dx/x
[1/2u -1/(u-1) +3/2(u-2)] du=-dx/x
½ln|u| - ln|u-1| +3/2 ln|u-2| =-ln|x| +ln|C1|
ln|u| - 2ln|u-1| +3ln|u-2| =-2ln|x| +2ln|C1|
u(u-2)^3 /(u-1)² =C/x²
ux²(u-2)^3 =C(u-1)²
y/x · x²(y/x -2)^3 =C(y/x-1)²
y(y-2x)^3 =C(y-x)²
令u=y/x
则dy/dx=u+xdu/dx
代入原方程得
u+xdu/dx=(2u-1)/(1/u -1+u)
整理得
(u²-u+1)du/(u^3 -3u²+2) = -dx/x
(u²-u+1)du/[u(u-1)(u-2)] =-dx/x
[1/2u -1/(u-1) +3/2(u-2)] du=-dx/x
½ln|u| - ln|u-1| +3/2 ln|u-2| =-ln|x| +ln|C1|
ln|u| - 2ln|u-1| +3ln|u-2| =-2ln|x| +2ln|C1|
u(u-2)^3 /(u-1)² =C/x²
ux²(u-2)^3 =C(u-1)²
y/x · x²(y/x -2)^3 =C(y/x-1)²
y(y-2x)^3 =C(y-x)²
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