已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3 (1)求f(x)的解析式 (2)若f(
(1)求f(x)的解析式
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围 展开
(1)因为二次函数有最小值1,所以可设解析式y=m(x-n)^2+1
由
f(0)=mn^2+1=3
f(2)=m(2-n)^2=3
得
mn^2=2
m[n^2-(2-n)^2]=0
解得
m=2
n=1
所以y=2(x-1)^2+1,即y=2x^2-4x+3。
(2)因为f(x)在[2a,a+1]上不单调,
所以2a<1<a+1,所以0<a<1/2。
(3)原式即“对一切t>0和x∈R,都有m≤2[g(t)+f(x)] (#),
亦即“对一切t>0,即使g(t)取最小值,同时对一切x∈R,即使f(x)取最小值,哪怕是同时取最小值,(#)式都要能成立”
所以m≤2[min{g(t)}+min{f(x)}] t>0,且x∈R,
【这里min{g(t)}、min{f(x)}分别指g(t)和f(x)的最小值 】
由(1),当x=1时f(x)有最小值1;
又g(t)=(t^2+t+9)/(t+1)=t+9/(t+1)=(t+1)+1/(t+1)-1=[√(t+1)-3/√(t+1)]^2-1,
当t=2时【满足t>0】,√(t+1)=3/√(t+1),g(t)有最小值5。
【亦可g(t)=(t^2+t+9)/(t+1)=t+9/(t+1),
g '(t)=1-9(t+1)^2=(t^2+2t-8)/(t+1)^2,
当0<t<2时,g '(t)<0,g(t)是减函数,
当t>2时,g '(t)>0,g(t)是增函数,
所以当t=2时,g(t)有最小值g(2)=2+9/(2+1)=5。】
所以m≤2(5+1)=12。