Question

求高数高手

求微分方程y的阶导数+2*y的一阶导数-3y=2*e的x次方的通解

Answer 1

求微分方程y′′+2y′-3y=2e^x 的通解
解：y′′+2y′-3y=2e^x...........(1)
先求齐次线性方程y′′+2y′-3y=的通解：特征方程r′+2r-3=(r-1)(r+3)=0的解为r₁=1，r₂=-3；
故该齐次线性方程的通解为y=C₁e^x+C₂e^(-3x).
下面再求方程(1)的一个特解。由于f(x)=2e^x属于Ae^(αx)的形式(A=2，α=1)，而α=1是特征方程的单根，因而特解为y*=bxe^x，将y*代入(1)式得：2be^x+bxe^x+2(be^x+bxe^x)-3bxe^x=2e^x，
化简得4be^x=2e^x，于是得b=1/2，而y*=(1/2)xe^x.
于是得通解y=C₁e^x+C₂e^(-3x)+(1/2)xe^x.

Answer 2

y''+2y'-3y=2e^x，
特征方程为a^2+2a--3=0，解为a=1或a=--3，因此
齐次方程的通解是y=C1e^x+C2e^(--3x)。
非齐次方程的一个特解设为y=axe^x，
y'=ae^x(x+1)，y''=ae^x*(x+2)。代入解得
a=2，因此特解y=2xe^x。于是通解为
y=C1e^x+C2e^(--3x)+2xe^x。