Question

已知0<x<1,0<y<1,求证：根号下x^2+ y^2+根号下x^2+(1-y)^2+根号下（1

已知0<x<1,0<y<1,求证：根号下x^2+ y^2+根号下x^2+(1-y)^2+根号下（1-x)^2+y^2+根 号下（1-x)^2+（1-y)^2大于等于2倍根号2

Answer 1

构造向量m＝(x,y),n＝(x,1-y),p＝(1-x,y),q＝(1-x,1-y).
则m+n+p+q＝(2，2).
故依向量模不等式|m|+ln|+|p|+|q|≥|m+n+p++q|,得
√(x²+y²)+√[x²+(1-y)²]+√[(1-x)²+y²]+√[(1-x)²+(1-y)²]≥√(2²+2²)＝2√2。
故原不等式得证。

Answer 2

由(a-b)² ≥ 0, 可得2(a²+b²) ≥ (a+b)², 故√(a²+b²) ≥ (a+b)/√2, 对任意实数a, b成立.
于是√(x²+y²) ≥ (x+y)/√2, √(x²+(1-y)²) ≥ (x+(1-y))/√2,
√((1-x)²+y²) ≥ ((1-x)+y)/√2, √((1-x)²+(1-y)²) ≥ ((1-x)+(1-y))/√2.
相加即得: √(x²+y²)+√(x²+(1-y)²)+√((1-x)²+y²)+√((1-x)²+(1-y)²)
≥ (x+y)/√2+(x+(1-y))/√2+((1-x)+y)/√2+((1-x)+(1-y))/√2
= 2√2.