Question

设二次函数f(x)=ax2-4x+c(a≠0)的值域为[0,+∞),且f(1)≤4，则u=a/(c2+4)+c/(a2+4)的取值范围是

Answer 1

f(x)=a(x-2/a)²+c-4/a
因为f(x)>=0,所以有a>0,且c-4/a=0,得：ac=4， 故也有c>0
f(1)=a-4+c<=4,得：a+c<=8 ,
记t=a+c, 因为有a+c>=2√(ac)=4, 因此有4=<t<=8
u=a/(c²+4)+c/(a²+4)
=a/(c²+ac)+c/(a²+ac)
=a/(ct)+c/(at)
=(a²+c²)/(act)
=(t²-2ac)/(4t)
=t/4-2/t
u关于t为单调增函数，
当t=4时，u最小，为1/2
当t=8时，u最大，为7/4
所以u的取值范围是[1/2,7/4]