Question

若二次函数f(x)=ax^2-4x+c的值域是[0,+∞),则（c+1）/a+（a+1）/c的最小值

Answer 1

二次函数f(x)=ax^2-4x+c的值域是[0,+∞)
则a＞0，b²-4ac= 16-4ac=0
即 ac=4
（c+1）/a+（a+1）/c
=(a²+c²+a+c)/ac
=1/4(a²+c²+a+c)≥ 1/4(2ac+2√ac)= 3
当a=c=2时，等号成立

Answer 2

若二次函数f(x)=ax^2-4x+c的值域是[0,+∞),
则a>0
判别式=16-4ac=0 ac=4 a,c>0
1/a=c/4 1/c=a/4
（c+1）/a+（a+1）/c
=c/a+1/a+a/c+1/c
=(c/a+a/c)+(a+c)/4
>=2√(a/c*c/a)+2√ac/4
=2+1
=3
当且仅当a=c=2时
（c+1）/a+（a+1）/c的最小值=3

Answer 3

若二次函数 f（x）＝ax＾2－4x+c的值域为【0，正无穷），则函数曲线凹向上。a>0，曲线与X轴只有一个交点。b^2-4ac=0，ac=4, c>0
（c+1）/a+（a+1）/c
=((c^2+c)+(a^2+a))/ac
=(a^2+c^2+ac)/ac
=((a^2+c^2+4)/4
a^2+c^2>=2ac>=8
（c+1）/a+（a+1）/c=(8+4)/4=3