Question

a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a如何证明

Answer 1

证明:由基本不等式:a^2+b^2>=2ab,得:a^2-ab+b^2>=ab,不等式两边同乘以a+b
可得:a^3+b^3>=a^2b+b^2a,
(1)
同理可得:b^3+c^3>=b^2c+c^2b
(2)
c^3+a^3>=c^2a+a^2c
(3)
(1)+(2)+(3),即得a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a

Answer 2

前者大
回答补充：
证明如下：
3a²b《a³+a³+b³
3b²c《b³+b³+c³
3c²a《c³+c³+a³
三式子相加得：
3a²b+3b²c+3c²a《a³+a³+b³+b³+b³+c³+c³+c³+a³=3（a³+b³+c³）
所以a²b+b²c+c²a《a³+b³+c³
前提要是a，b，c都是非负数，否则就有得讨论了。

Answer 3

证明如下：
(a,b,c正实数)，a^3+b^3+c^3≥3abc

证明：a^3+b^3+c^3-3abc
=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)^2-c(a+b)+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)(a+b+c)
=(1/2)((a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2)(a+b+c)
因为a.b.c是正实数,所以a+b+c>0.
而且(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2≥0
因此a^3+b^3+c^3-3abc≥0
即a^3+b^3+c^3≥3abc
得证。

由a ^3+b ^3+c ^3>=3abc基本不等式得到：
a ^3+a^3+b^3>=3aab=3a^2b------A
b ^3+b^3+c^3>=3bbc=3b^2c------B
c ^3+c^3+a^3>=3cca=3c^2a-------C

三式子相加得：
3(a ^3+b ^3+c ^3)>=3a^2b+3b^2c+3c^2a=3(a^2b+b^2c+c^2a)
所以(a ^3+b ^3+c ^3)>=(a^2b+b^2c+c^2a)