Question

已知关于x的二次方程y=ax^2+bx+c(a>0)的图像经过点C(0,1)且与x轴交于不同的两点A,B点A的坐标为(1,0)

(1)求c的值
(2)求a的取职范围
(3)该二次函数的图像与直线y=1交于C,D两点设A,B,C,D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证s1-s2为常数,并求出该常数

Answer 1

（1）c=1
(2)0<a<1
(3)

Answer 2

1.解：
将C(0,1)代入函数y=ax²+bx+c
得：1=0+0+c，即c=1
2.解：
将A(1,0)代入函数y=ax²+bx+1
得：0=a+b+1，即b=-1-a
∵函数与x轴有两个不同的交点
∴敏镇判别式△=b²-4a=(-1-a)²-4a=a²+2a+1-4a=a²-2a+1=(a-1)²>0
∴a-1≠0，即a≠1
3.解：y=ax²模伏+(-1-a)x+1
利用求根公式：
x1=[-(-1-a)+√(a-1)²]/2a=(1+a+|a-1|)/2a=(1+a+1-a)/2a=1/a
x2=[-(-1-a)-√(a-1)²]/2a=(1+a-|a-1|)/2a=(1+a-1+a)/2a=1
∴B点坐标为(1/a,0)，在点A的右侧
令y=1，则ax²+(-1-a)x+1=1，即(ax-1-a)x=0
则x=0或者x=(1+a)/a
则D点坐标为((1+a)/a,1)
则AB=1/a-1=(1-a)/a，CD=(1+a)/a
设AD所在直线为y=k1x+b1，BC所在直线为y=k2x+b2
将A、B、C、D代入上面2式，得：
AD直线：y=ax-a，BC直线：y=-ax+1
联立这两个直线，得：ax-a=-ax+1，即x=(1+a)/2a
代入y=-ax+1，得：y=(1-a)/旦拿携2
则P点纵坐标为(1-a)/2
则P到CD距离h1为：1-(1-a)/2=(1+a)/2，P到AB的距离h2为：(1-a)/2
则S1-S2=1/2×CD×h1-1/2×AB×h2
=1/2×(1+a)/a×(1+a)/2-1/2×(1-a)/a×(1-a)/2
=(1+a)²/4a-(1-a)²/4a
=[(1+a)²-(1-a)²]/4a
=[1+a²+2a-1-a²+2a]/4a
=4a/4a
=1
即S1-S2=1