Question

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB=90度，AC=BC，点D是BC的中点，CE垂直AD，垂足为点

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB=90度，AC=BC，点D是BC的中点，CE垂直AD，垂足为点E，BF平行AC交CE的延长线于点F，连接DF。请说明AB垂直平分DF的理由.

Answer 1

证明：
∵BF平行于AC（已知）
∴∠ACB+∠CBF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∠ACE=∠BFC（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB=90°（已知）
∴∠CBF=180°-90°=90°
∴∠FCB+∠BFC=90°
∵∠ACE+∠CAD=90°（已知）
∴∠BFC+∠CAD=90°（等量代换）
∴∠FCB=∠CAD（同角的余角相等）
∵BC=AC（已知）
∴△ACD全等于△CFB（ASA）
∴CD=BF
∵D是BC的中点（已知）
∴CD=BD（中点定义）
∴BD=BF（等量代换）
∴△BDF为等腰三角形
∵∠CAB=∠CBA=45°（由△ABC是等腰三角形知）
∴AB垂直平分DF（等腰三角形三线合一）