Question

已知：函数f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a＞0且a≠1）（Ⅰ...

已知：函数f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a＞0且a≠1） （Ⅰ）求f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性； （Ⅱ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a＞0且a≠1）
∴2+x＞02-x＞0，
解得-2＜x＜2，
故所求函数f（x）的定义域为{x|-2＜x＜2}．
且f（-x）=loga（-x+2）-loga（2+x）=-[loga（x+2）-loga（2-x）]=-f（x），
故f（x）为奇函数．
（Ⅱ）解：原不等式可化为：loga（2+x）＞loga（2-x）
①当a＞1时，y=logax单调递增，
∴2+x＞2-x-2＜x＜2
即0＜x＜2，
②当0＜a＜1时，y=logax单调递减，
∴2+x＜2-x-2＜x＜2
即-2＜x＜0，
综上所述：当a＞1时，不等式解集为（0，2）；当0＜a＜1时，不等式解集为（-2，0）