Question

设正数x,y,z,满足不等式:x^2+y^2-z^2/2xy+y^2+z^2-x^2/2yz+z^2+x^2-y^2/2zx>1

设正数x,y,z,满足不等式:(x^2+y^2-z^2/2xy)+(y^2+z^2-x^2/2yz)+(z^2+x^2-y^2/2zx)>1,求证:以x、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形。

Answer 1

条件应该是这样的吧:
(x²+y²-z²)/(2xy)+(y²+z²-x²)/(2yz)+(z²+x²-y²)/(2zx)
>
1.
由x,
y,
z
>
0,
两边同乘2xyz得(x²+y²-z²)z+(y²+z²-x²)x+(z²+x²-y²)y
>
2xyz..
即x²y+xy²+y²z+yz²+z²x+zx²-x³-y³-z³-2xyz
>
0.
也即(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)
=
x²y+xy²+y²z+yz²+z²x+zx²-x³-y³-z³-2xyz
>
0.
由对称性不妨设x
≥
y
≥
z,
则有x+y-z
≥
x
>
0,
z+x-y
≥
z
>
0.
由乘积大于0得y+z-x
>
0,
于是x,
y,
z可以成为三角形的三边.