Question

高中数学数列证明题

如图啊

Answer 1

由上式得an+1 < an – (an )^2,又因为该数列是正项数列,所以对于任意正整数n,右式大于0.另n=1,解右式大于0的不等式得0<a1 <1,所以a1 – (a1 )^2<1/4,上面已经证明当n=1和2时, an<1/n,下面证明若an<1/n(n为不小于2的正整数)成立,则an+1<1/(n+1)成立.当0<an<1/2时, an – (an )^2最值在an 最大时取到,所以若an<1/n(n为不小于2的正整数),则an+1< an – (an )^2<1/n-(1/n)^2=(n-1)/n^2,而由式子n^2-1<n^2两边同除以n^2(n+1)得(n-1)/n^2<1/(n+1),故an+1<1/(n+1).由此可得当n为任意正整数时an<1/n.(以上证明方法为数学归纳法)

Answer 2

可以利用数学归纳法
a(n+1)=an(1-an)=-(an-1/2)^2+1/4<1/4
当n<3时成立
假设当n=k时成立k>=2
当n=k+1时
a(k+1)<ak(ak-1)=-(ak-1/2)^2+1/4
ak<1/k<1/2
所以a(k+1)<ak(ak-1)=-(ak-1/2)^2+1/4<-(1/n-1/2)^2+1/4=(n-1)/n^2<(n-1)/(n^2-1)=1/(n+1)
综上，an^2<an-a(n+1)