Question

在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CD垂直AB,垂足为D,AF平分角CAB,交CD于E,交CB于F.将三角形ADE沿AB向右平移

到三角形A＇D＇F＇的位置,使点E＇落在BC边上,其它条件不变,问:BE ＇CF有怎样的数量关系?

Answer 1

（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，

（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．

（1）证明：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠EAD，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，

∵CD⊥AB于D，

∴∠EAD+AED=90°，

∴∠CFA=∠AED，

∵∠AED=∠CEF，

∴∠CFA=∠CEF，

∴CE=CF；

（2）BE′=CF．

证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，

又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，

∴ED=EG．

由平移的性质可知：D′E′=DE，

∴D′E′=GE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°

∵CD⊥AB于D，

∴∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠B，

在Rt△CEG与Rt△BE′D′中， ，

∴△CEG≌△BE′D′，

∴CE=BE′，

由（1）可知CE=CF，

∴BE′=CF．

 

Answer 2

（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．
（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；
（2）BE′=CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，
∴ED=EG．
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在Rt△CEG与Rt△BE′D′中， ，
∴△CEG≌△BE′D′，
∴CE=BE′，
由（1）可知CE=CF，
∴BE′=CF．

Answer 3

（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．
（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF ∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；

（2）BE′=CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，
∴ED=EG．
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD ∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B ∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在Rt△CEG与Rt△BE′D′中， ，
∴△CEG≌△BE′D′，
∴CE=BE′，
由（1）可知CE=CF，
∴BE′=CF．
本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中．