Question

图中第4题，第二型曲面积分，不用高斯公式的做法

Answer 1

∑在xoy面上的投影是圆周x^2+y^2=1，所以dxdy=0，∫∫ydxdy=0。
∑分为两片，∑1是x=√(1-y^2)，取前侧，∑2是x=-√(1-y^2)，取后侧。两片曲面在在yoz面上的投影都是矩形域：-1≤y≤1，0≤z≤h。所以∫∫zdydz=∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz-∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz=0。
∑分为两片，∑1是y=√(1-x^2)，取右侧，∑2是y=-√(1-x^2)，取左侧。两片曲面在在zox面上的投影都是矩形域：-1≤x≤1，0≤z≤h。所以∫∫xdzdx=2∫(-1到1)dx∫(0到h)
xdz=0。
所以，原积分＝0。

Answer 2

取后侧，∑2是y=-√(1-x^2)。
所以，∑1是y=√(1-x^2)，0≤z≤h，∑1是x=√(1-y^2)∑在xoy面上的投影是圆周x^2+y^2=1。两片曲面在在zox面上的投影都是矩形域，∫∫ydxdy=0，取前侧，取右侧：-1≤y≤1。
∑分为两片，取左侧。所以∫∫xdzdx=2∫(-1到1)dx∫(0到h)
xdz=0。所以∫∫zdydz=∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz-∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz=0。两片曲面在在yoz面上的投影都是矩形域：-1≤x≤1，∑2是x=-√(1-y^2)，所以dxdy=0，0≤z≤h。
∑分为两片，原积分＝0

Answer 3

p=xy²，q=yz²，r=zx²
p对x的偏导数=y²，q对y的偏导数=z²，r对z的偏导数=x²
利用高斯公式，原式=3重积分∫∫∫(y²+z²+x²)dxdydz，
积分区域是x²+y²+z²≤1
利用球面坐标，该3重积分=∫<0到2∏>dθ∫<0到∏>dφ∫<0到1>r²r²sinφdr
积出=4∏/5