图中第4题,第二型曲面积分,不用高斯公式的做法
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∑在xoy面上的投影是圆周x^2+y^2=1,所以dxdy=0,∫∫ydxdy=0。
∑分为两片,∑1是x=√(1-y^2),取前侧,∑2是x=-√(1-y^2),取后侧。两片曲面在在yoz面上的投影都是矩形域:-1≤y≤1,0≤z≤h。所以∫∫zdydz=∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz-∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz=0。
∑分为两片,∑1是y=√(1-x^2),取右侧,∑2是y=-√(1-x^2),取左侧。两片曲面在在zox面上的投影都是矩形域:-1≤x≤1,0≤z≤h。所以∫∫xdzdx=2∫(-1到1)dx∫(0到h)
xdz=0。
所以,原积分=0。
∑分为两片,∑1是x=√(1-y^2),取前侧,∑2是x=-√(1-y^2),取后侧。两片曲面在在yoz面上的投影都是矩形域:-1≤y≤1,0≤z≤h。所以∫∫zdydz=∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz-∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz=0。
∑分为两片,∑1是y=√(1-x^2),取右侧,∑2是y=-√(1-x^2),取左侧。两片曲面在在zox面上的投影都是矩形域:-1≤x≤1,0≤z≤h。所以∫∫xdzdx=2∫(-1到1)dx∫(0到h)
xdz=0。
所以,原积分=0。
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取后侧,∑2是y=-√(1-x^2)。
所以,∑1是y=√(1-x^2),0≤z≤h,∑1是x=√(1-y^2)∑在xoy面上的投影是圆周x^2+y^2=1。两片曲面在在zox面上的投影都是矩形域,∫∫ydxdy=0,取前侧,取右侧:-1≤y≤1。
∑分为两片,取左侧。所以∫∫xdzdx=2∫(-1到1)dx∫(0到h)
xdz=0。所以∫∫zdydz=∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz-∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz=0。两片曲面在在yoz面上的投影都是矩形域:-1≤x≤1,∑2是x=-√(1-y^2),所以dxdy=0,0≤z≤h。
∑分为两片,原积分=0
所以,∑1是y=√(1-x^2),0≤z≤h,∑1是x=√(1-y^2)∑在xoy面上的投影是圆周x^2+y^2=1。两片曲面在在zox面上的投影都是矩形域,∫∫ydxdy=0,取前侧,取右侧:-1≤y≤1。
∑分为两片,取左侧。所以∫∫xdzdx=2∫(-1到1)dx∫(0到h)
xdz=0。所以∫∫zdydz=∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz-∫(-1到1)dy∫(0到h)
zdz=0。两片曲面在在yoz面上的投影都是矩形域:-1≤x≤1,∑2是x=-√(1-y^2),所以dxdy=0,0≤z≤h。
∑分为两片,原积分=0
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p=xy²,q=yz²,r=zx²
p对x的偏导数=y²,q对y的偏导数=z²,r对z的偏导数=x²
利用高斯公式,原式=3重积分∫∫∫(y²+z²+x²)dxdydz,
积分区域是x²+y²+z²≤1
利用球面坐标,该3重积分=∫<0到2∏>dθ∫<0到∏>dφ∫<0到1>r²r²sinφdr
积出=4∏/5
p对x的偏导数=y²,q对y的偏导数=z²,r对z的偏导数=x²
利用高斯公式,原式=3重积分∫∫∫(y²+z²+x²)dxdydz,
积分区域是x²+y²+z²≤1
利用球面坐标,该3重积分=∫<0到2∏>dθ∫<0到∏>dφ∫<0到1>r²r²sinφdr
积出=4∏/5
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